Калькулятор Блека-Шоулза

Name: Калькулятор Блека-Шоулза: ціна опціону та Greeks
Author: InvestinGoal

Калькулятор Блека-Шоулза оцінює справедливу теоретичну ціну європейського колл-опціону та пут-опціону, щоб Ви могли визначити, чи є котирувана премія опціону дешевою або дорогою, перш ніж торгувати ним. Ви вводите спотову ціну, ціну виконання (страйк), кількість днів до закінчення строку дії, волатильність і безризикову ставку. Інструмент повертає теоретичну ціну колл- і пут-опціону разом із п'ятьма грецькими коефіцієнтами опціону (Greeks): дельта, гамма, тета, вега і ро.

Спотова ціна (S)

Ціна страйку (K)

Днів до експірації

Волатильність (річна)

Безризикова ставка

Ціна колл-опціону

$10.45

European option · S $100 · K $100 · 365d · 20% IV

Ціна пут-опціону

$5.57

Дельта (колл / пут)

+0.6368 / −0.3632

Гамма

0.0188

Тета (колл / пут)

−$0.0176 / −$0.0045 per day

Вега

$0.3752 per 1% IV

Ро (колл / пут)

+$0.5323 / −$0.4189 per 1%

На гроші (ATM): колл коштує $10.45, а пут коштує $5.57. Дельта близька до 0,5: кожен рух базового активу на $1 змінює вартість опціону приблизно на +0.6368.

Показати розрахунок

d1 = [ln(100/100) + (0.05 − 0.00 + 0.20²/2) × 1] / (0.20·√1) = 0.35

d2 = 0.35 − 0.20·√1 = 0.15

Call = 100·e^(−0.00·1)·N(0.35) − 100·e^(−0.05·1)·N(0.15) = $10.45

Перевірено Filippo Ucchino Засновник, InvestinGoal

Ці результати є лише орієнтовними оцінками в освітніх цілях і не є фінансовою, інвестиційною чи податковою консультацією.

Що таке калькулятор ціноутворення опціонів Блека-Шоулза?

Калькулятор ціноутворення опціонів Блека-Шоулза - це інструмент, який обчислює справедливу теоретичну вартість європейського колл- і пут-опціону на основі п'яти вхідних параметрів, використовуючи модель Блека-Шоулза: спотову ціну базового активу, ціну виконання (страйк), час до закінчення строку дії, волатильність і безризикову відсоткову ставку. Модель Блека-Шоулза - це формула в замкненому вигляді, яка перетворює ці вхідні дані на єдину теоретичну ціну, тобто вартість, яку опціон має мати сьогодні за припущеннями моделі. Її опублікували 1973 року Фішер Блек і Майрон Шоулз у праці "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", а того ж року концепцію розширив Роберт Мертон; ця робота була відзначена Нобелівською премією з економічних наук 1997 року, яку отримали Шоулз і Мертон (Блек помер 1995 року). Версію, що додає безперервну дивідендну дохідність, часто називають моделлю Блека-Шоулза-Мертона. Окрім двох цін, калькулятор повертає п'ять грецьких коефіцієнтів опціону, показники чутливості, які демонструють, як змінюється ціна при зміні кожного вхідного параметра, тож для одного європейського контракту, що використовується в торгівлі опціонами, інструмент за один прохід дає сім результатів, а не один.

Чому калькулятор Блека-Шоулза важливий для трейдингу?

Калькулятор Блека-Шоулза важливий для трейдингу, тому що дає трейдеру справедливу теоретичну вартість і чутливість до ризику опціону ще до того, як його купити чи продати, перетворюючи котировану премію на щось, що можна оцінити, а не просто прийняти як є. Ціна опціону не очевидна з самого лише базового активу: вона поєднує спотову ціну, страйк, час, що залишився, волатильність і відсоткову ставку в одному числі, і без моделі немає способу визначити, чи є премія на екрані дешевою або дорогою відносно справедливої вартості. Оцінюючи контракт на основі цих п'яти вхідних параметрів, калькулятор відповідає на питання, яке має значення в момент прийняття рішення: чи пропонує ринок справедливу ціну за ризик, який Ви збираєтеся взяти на себе. Трейдери звертаються до нього ще до розміщення ордера: щоб порівняти поточне котирування з теоретичною ціною, побачити, як вартість відреагує на зміну волатильності, часу чи ставок, і зрозуміти грецькі коефіцієнти, які визначатимуть поведінку позиції після її відкриття. Читання справедливої вартості спочатку - та сама звичка усвідомлення ризику, якої відповідальний онлайн-трейдинг вимагає від будь-якого інструменту з кредитним плечем.

Як користуватися калькулятором Блека-Шоулза?

Щоб скористатися калькулятором Блека-Шоулза, введіть спотову ціну, ціну виконання, кількість днів до закінчення строку дії, волатильність і безризикову ставку, і інструмент поверне теоретичну ціну колл- і пут-опціону разом із п'ятьма грецькими коефіцієнтами.

Нижче наведено кроки для використання калькулятора Блека-Шоулза:

Введіть спотову ціну. Це поточна ринкова ціна базової акції або індексу, у формулі позначена як S.
Введіть ціну виконання. Це ціна, за якою можна виконати опціон, позначена як K, і саме відносно неї вимірюється спотова ціна.
Встановіть кількість днів до закінчення строку дії. Це кількість календарних днів, що залишилися до закінчення строку дії опціону; інструмент перетворює це значення на частку року.
Введіть волатильність. Це очікувана річна волатильність базового активу у відсотках, зазвичай імпліцитна волатильність, яку закладає ринок.
Введіть безризикову ставку. Це річна відсоткова ставка за безпечним активом, наприклад короткостроковою державною облігацією, введена у відсотках.

У розширених налаштуваннях (Advanced) Ви можете додати дивідендну дохідність для акції чи індексу, що виплачує дивіденди, перемкнути базу підрахунку днів між 365 календарними днями і 252 торговими днями, а також задати валюту; перемикача колл/пут немає, бо інструмент одразу розраховує обидві ціни і перераховує всі результати після натискання кнопки "Розрахувати".

Яку формулу використовує калькулятор Блека-Шоулза?

Калькулятор Блека-Шоулза використовує формулу Блека-Шоулза, яка визначає ціну колл- і пут-опціону на основі двох проміжних величин, d1 і d2, пропущених через кумулятивну функцію нормального розподілу і поєднаних з дисконтованими спотовою ціною та страйком.

d_{1} = \frac{\ln (S / K) + (r - q + σ^{2} / 2) T}{σ \sqrt{T}}

d_{2} = d_{1} - σ \sqrt{T}

Call = S e^{- q T} N (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2})

Put = K e^{- r T} N (- d_{2}) - S e^{- q T} N (- d_{1})

У цих формулах S - це спотова ціна, K - ціна виконання, T - час до закінчення строку дії у роках (дні, поділені на базу), σ (сигма) - волатильність, r - безризикова ставка, а q - дивідендна дохідність; N() - кумулятивна функція нормального розподілу, тож N(d2) приблизно відповідає ризиково-нейтральній імовірності того, що колл-опціон завершиться у грошах (in-the-money). Підставивши значення для варіанту "на грошах" на один рік: d1 = [ln(100/100) + (0,05 − 0 + 0,20²/2) × 1] / (0,20 × √1) = 0,35. Оскільки браузер не має таблиць імовірностей, калькулятор обчислює N(d) за допомогою стандартного поліноміального наближення (Абрамовіц і Стеган, 26.2.17), точного до менш ніж однієї десятимільйонної частки. Формула справедлива лише для європейського опціону і передбачає, що волатильність і відсоткова ставка залишаються сталими протягом усього строку дії опціону.

Який приклад розрахунку за моделлю Блека-Шоулза?

Приклад розрахунку за моделлю Блека-Шоулза: річний колл-опціон "на грошах" вартістю $10,45, розрахований так:

d1 і d2. Зі спотовою ціною $100, страйком $100, строком один рік, волатильністю 20% і ставкою 5%: T = 1 і σ√T = 0,20, тож d1 = (0 + (0,05 + 0,02) × 1) / 0,20 = 0,35, а d2 = 0,35 − 0,20 = 0,15.
Нормальні ймовірності. N(0,35) = 0.6368, а N(0,15) = 0.5596, дисконтний коефіцієнт становить e^(−0,05) = 0.9512.
Ціна колл-опціону = 100 × 0.6368 − 100 × 0.9512 × 0.5596 = 63,68 − 53,23 = $10,45.
Ціна пут-опціону = $5,57, що випливає з паритету пут-колл: Call − Put = S × e^(−qT) − K × e^(−rT).

У цьому сценарії розглядається європейський опціон зі страйком "на грошах" без дивідендів, і калькулятор повертає $10,45 для колл-опціону і $5,57 для пут-опціону - ті самі два значення, які дає ручний розрахунок прикладу.

Як читати результат калькулятора Блека-Шоулза?

Щоб прочитати результат калькулятора Блека-Шоулза, порівняйте ціну колл- і пут-опціону поруч, а потім перевірте moneyness (співвідношення спотової ціни до страйку, S/K) і дельту, які разом показують, де перебуває опціон і як він поводитиметься. Moneyness визначає, яка частка ціни - це реальна, внутрішня вартість, а яка - часова вартість, тоді як дельта показує, наскільки тісно опціон слідує за базовим активом.

Moneyness (S/K)	Як читати опціон
Близько 1 (у межах 2%)	На грошах (at-the-money): дельта близька до 0,5, колл і пут оцінюються схоже, а вартість здебільшого часова
Вище 1,02	Колл у грошах (in-the-money): дельта наближається до 1, і він поводиться майже як базовий актив, тоді як пут поза грошима (out-of-the-money) і коштує мало
Нижче 0,98	Колл поза грошима (out-of-the-money): ціна - це вся часова вартість, і вона щодня зменшується через тета-розпад

У прикладі "на грошах" дельта +0.6368 означає, що колл-опціон зростає приблизно на $0,64 на кожен $1 зростання базового активу, що є характерною ознакою опціону зі страйком, близьким до поточної ціни. Незалежно від moneyness, завжди діє одне правило: тета щодня коштує покупцю грошей, приблизно $0.0176 на день для цього колл-опціону, тому що час працює проти будь-кого, хто володіє опціоном. Сприймайте результат як миттєвий знімок справедливої вартості та поведінки опціону зараз, а потім зіставляйте його з ринковим котируванням, перш ніж укладати угоду.

Як волатильність впливає на розрахунок за моделлю Блека-Шоулза?

Волатильність безпосередньо впливає на розрахунок за моделлю Блека-Шоулза, тому що вища волатильність підвищує ціну і колл-, і пут-опціону, і саме до цього параметра ціна найчутливіша, що вимірюється грецьким коефіцієнтом вега. Вища волатильність означає ширший діапазон можливих результатів для базового активу, а отже, більшу ймовірність того, що опціон завершиться у грошах, що робить його ціннішим для власника як колл-, так і пут-опціону. Це також єдиний вхідний параметр, який не можна просто подивитися: спотова ціна, страйк, час і ставка спостережувані, а волатильність - це прогноз. Трейдери зазвичай використовують імпліцитну волатильність, яку ринок уже закладає в ціну цього опціону, а не історичну волатильність, яку базовий актив показував у минулому, тому що імпліцитна волатильність відображає очікування ринку на майбутнє. Саме це робить волатильність вирішальним параметром ціноутворення опціонів: невелика зміна введеного значення зміщує теоретичну ціну сильніше, ніж еквівалентна зміна будь-якого іншого поля, тож чесна оцінка ринкової волатильності важливіша тут, ніж будь-де в моделі.

Які обмеження має калькулятор Блека-Шоулза?

Головне обмеження калькулятора Блека-Шоулза в тому, що він дає теоретичну оцінку, а не ринкову ціну, і ця оцінка настільки хороша, наскільки хороша волатильність, яку Ви в неї закладаєте. Модель оцінює чистий, ідеалізований опціон, тож кілька особливостей реального ринку залишаються поза нею. Вона ігнорує спред між ціною попиту і пропозиції (bid-ask spread), тож Ви ніколи фактично не торгуєте за єдиною справедливою вартістю, яку вона показує. Вона припускає сталу волатильність для кожного страйку, чому реальні ринки суперечать через перекіс волатильності (skew), або "усмішку", коли імпліцитна волатильність відрізняється залежно від страйку і строку дії; це добре задокументоване відхилення, описане в підручнику Hull "Options, Futures, and Other Derivatives". Вона розглядає дивіденди як рівномірну безперервну дохідність, а не як дискретні дивіденди, що фактично виплачуються у встановлені дати. І вона оцінює лише європейські опціони, тобто ті, що виконуються лише при закінченні строку дії, тож не враховує вартість дострокового виконання американських опціонів, поширених на окремих акціях у США, які натомість оцінюються за допомогою біноміальних дерев - методу, запровадженого Коксом, Россом і Рубінштейном 1979 року. Вона також припускає сталу відсоткову ставку і нічого не говорить про те, чи є угода вдалою ідеєю. Сприймайте результат як добре обґрунтоване орієнтовне значення для порівняння з котируванням, а не як гарантію того, скільки Ви заплатите чи отримаєте, і пам'ятайте, що це освітня інформація, а не інвестиційна консультація.

Як калькулятор Блека-Шоулза обчислює п'ять грецьких коефіцієнтів опціону?

Калькулятор Блека-Шоулза обчислює п'ять грецьких коефіцієнтів опціону: дельту, гамму, тету, вегу і ро, кожен з яких вимірює, як реагує ціна опціону на зміну одного вхідного параметра, коли інші залишаються фіксованими. Саме вони є характерною рисою калькулятора з кількома результатами, і їхнє читання показує, як поводитиметься позиція, коли Ви нею володітимете.

Грецький коефіцієнт	Значення (приклад "на грошах")	Що він вимірює
Дельта	+0.6368 колл / −0.3632 пут	Наскільки змінюється ціна опціону при зміні базового активу на $1
Гамма	0.0188	Наскільки змінюється сама дельта при зміні на $1, однаково для колл і пут
Тета	−$0.0176/день колл / −$0.0045/день пут	Скільки вартості опціон втрачає щодня з плином часу
Вега	$0.3752 на 1% IV	Зміна ціни при зростанні волатильності на 1 пункт, однаково для колл і пут
Ро	+$0.5323 колл / −$0.4189 пут на 1%	Зміна ціни при зростанні відсоткової ставки на 1 пункт

Читайте їх як показники чутливості. Дельта близько 0,5 позначає опціон "на грошах" і зростає до 1 у міру того, як колл-опціон переходить у гроші; гамма вимірює, наскільки швидко змінюється ця дельта, тож вона найбільша поблизу страйку і ближче до закінчення строку дії. Тета - це щоденна вартість часового розпаду, яка прискорюється в міру наближення закінчення строку дії, тоді як вега показує, що зростання імпліцитної волатильності на 1 пункт додає приблизно $0,38 до вартості цього опціону, підтверджуючи, що волатильність - найпотужніший важіль впливу на ціну. Ро зазвичай найменший із п'яти коефіцієнтів і має найбільше значення для довгострокових опціонів. Гамма і вега однакові для колл- і пут-опціону, тоді як дельта, тета і ро мають протилежні знаки для кожної сторони, тому калькулятор показує обидва варіанти.

У чому різниця між розрахунком за моделлю Блека-Шоулза і розрахунком прибутку від опціонів?

Розрахунок за моделлю Блека-Шоулза відрізняється від розрахунку прибутку від опціонів тим, що і коли він вимірює: розрахунок за моделлю Блека-Шоулза дає справедливу теоретичну вартість опціону зараз, до закінчення строку дії, обумовлену волатильністю, часом і ставками, тоді як розрахунок прибутку від опціонів дає прибуток або збиток позиції на момент закінчення строку дії, обумовлений лише тим, де опиниться базовий актив відносно страйку.

Характеристика	Розрахунок за моделлю Блека-Шоулза	Розрахунок прибутку від опціонів
Що вимірює	Справедливу теоретичну вартість опціону	Прибуток або збиток позиції
Коли	Зараз, до закінчення строку дії	На момент закінчення строку дії
Що є вартістю опціону	Внутрішня вартість плюс часова вартість	Лише внутрішня вартість
Що визначає число	Волатильність, час і відсоткова ставка	Ціна базового активу відносно страйку та премія

Практична різниця полягає в тому, що ці два інструменти відповідають на різні питання і повертають різні числа для того самого опціону. Блек-Шоулз показує, скільки контракт має коштувати сьогодні, щоб Ви могли оцінити його котировану премію, тоді як розрахунок прибутку від опціонів показує, скільки позиція заробить або втратить, якщо базовий актив досягне певної ціни на момент закінчення строку дії. Цей калькулятор Ви використовуєте, щоб оцінити опціон перед відкриттям угоди, а калькулятор прибутку - щоб спрогнозувати виплату, коли Ви обмірковуєте вихід із позиції.

Які калькулятори пов'язані з калькулятором Блека-Шоулза?

Калькулятори, пов'язані з калькулятором Блека-Шоулза, належать до того самого циклу оцінки та прибутку опціонів: від справедливої вартості контракту до закінчення строку дії до прибутку чи збитку, який залишається після закриття позиції.

Нижче наведено калькулятори, пов'язані з калькулятором Блека-Шоулза:

Калькулятор прибутку від опціонів: розраховує прибуток або збиток на момент закінчення строку дії опціонної позиції, тобто ту частину виплати, яку цей інструмент оцінки не враховує.
Калькулятор покритого колл-опціону: моделює дохідну стратегію утримання базового активу і продажу колл-опціону проти нього, поширений перший крок у торгівлі опціонами.
Калькулятор прибутку від акцій: обчислює прибуток або збиток безпосередньо на базових акціях, без кредитного плеча, яке додає опціон.
Калькулятор відсоткового приросту: виражає результат у вигляді відсоткової дохідності, корисно для порівняння результату опціону з ризикованою премією.

FAQ

Що таке модель Блека-Шоулза?

Модель Блека-Шоулза - це формула, опублікована 1973 року, яка оцінює справедливу теоретичну ціну європейського колл- або пут-опціону на основі спотової ціни, страйку, часу до закінчення строку дії, волатильності та безризикової ставки. Вона також обчислює грецькі коефіцієнти опціону. Значення, яке вона дає, теоретичне, а не реальне ринкове котирування, тож фактичні торгові ціни відрізняються.

Що таке d1 і d2 у формулі Блека-Шоулза?

d1 і d2 - це дві проміжні величини, які формула Блека-Шоулза передає у нормальний розподіл. d1 = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)T] / (σ√T), а d2 = d1 − σ√T. Їхні ймовірності N(d1) і N(d2) зважують спотову ціну і страйк у формулі ціни, а N(d2) приблизно відповідає ризиково-нейтральній імовірності того, що колл-опціон завершиться у грошах. У прикладі «на грошах» на один рік d1 = 0.35, а d2 = 0.15.

Чи працює калькулятор Блека-Шоулза для американських опціонів?

Ні. Калькулятор Блека-Шоулза оцінює європейські опціони, які можна виконати лише при закінченні строку дії. Американські опціони, поширені на окремих акціях у США, можна виконати будь-якого дня, тож вони коштують принаймні стільки ж і оцінюються натомість за допомогою біноміальних дерев. Блек-Шоулз усе одно дає близьке наближення для американських колл-опціонів на акціях, які не виплачують дивіденди.

Чому ціна опціону в мого брокера відрізняється від Блека-Шоулза?

Тому що Блек-Шоулз дає теоретичну ціну, а ринок - ні. Реальне котирування включає спред між ціною попиту і пропозиції, імпліцитна волатильність відрізняється залежно від страйку (перекіс волатильності), дивіденди надходять дискретними виплатами, а не рівномірною дохідністю, а опціони на окремі акції у США мають американський стиль із вартістю дострокового виконання, яку формула не враховує. Модель дає справедливу вартість для порівняння, а не точну торгову ціну.

Чи використовується модель Блека-Шоулза досі?

Так. Модель Блека-Шоулза залишається базовою моделлю для оцінки опціонів понад п'ятдесят років після публікації 1973 року, і саме на ній ґрунтуються теоретичні ціни та грецькі коефіцієнти, які показує більшість торгових платформ. Трейдери сприймають її результат як базовий орієнтир і коригують його з урахуванням ринкових реалій, які вона не враховує, таких як перекіс волатильності та дострокове виконання, а не відкидають модель повністю.

Цей інструмент призначений для навчання, а не для фінансової консультації. Модель Блека-Шоулза дає теоретичну ціну для європейського опціону, а реальні ринкові ціни відрізняються через спред між ціною попиту і пропозиції, перекіс волатильності, дискретні дивіденди та дострокове виконання. Торгівля опціонами пов'язана з високим ризиком втрати грошей, включно з усією сплаченою премією.